Discrete Mathematics

New PDF release: Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen

By Rolf Klein

ISBN-10: 3540209565

ISBN-13: 9783540209560

Wie bestimmt guy in einer Menge von Punkten am schnellsten zu jedem Punkt seinen nächsten Nachbarn? Wie lässt sich der Durchschnitt von zwei Polygonen berechnen? Wie findet guy ein Ziel in unbekannter Umgebung?

Mit solchen und ähnlichen Fragen beschäftigt sich die Algorithmische Geometrie, ein Teilgebiet der Informatik, dessen Entwicklung etwa 1975 begann und seitdem einen stürmischen Verlauf genommen hat.

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in häufig verwendete algorithmische Techniken wie Sweep, Divide-and-Conquer, randomisierte inkrementelle Konstruktion, Dynamisierung, amortisierte Kostenanalyse und kompetitive examine. Es stellt wichtige geometrische Strukturen vor wie konvexe Hülle, Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulation sowie höherdimensionale Datenstrukturen.

Die vorliegende zweite Auflage wurde gründlich überarbeitet. Sie enthält über 60 Übungsaufgaben mit Lösungen. Ferner bietet ein Geometrie-Labor mit Java-Applets die Möglichkeit, mit geometrischen Strukturen und Algorithmen zu experimentieren.

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Es handelt sich hierbei um ein Paradigma, also eine algorithmische Technik, mit deren Hilfe man viele Probleme l¨ osen kann. Ein anderes wichtiges Paradigma ist nicht nur bei geometrischen Algorithmen bekannt: divide and conquer. Hierbei versucht man, ein Problembeispiel P der Gr¨oße n in zwei Teile P1 und P2 zu zerlegen (divide-Schritt). Diese beiden Teilprobleme werden direkt“ gel¨ ost, wenn sie nur noch O(1) groß sind, anson” sten durch Rekursion. Die eigentliche Aufgabe besteht darin, die ur das ganze ProTeill¨ osungen f¨ ur P1 und P2 zu einer L¨osung f¨ blem P zusammenzusetzen (conquer -Schritt).

Gefragt ist, ob es Indizes i = j gibt, so daß |xi − xj | < ε gilt. Hat man die n Zahlen erst ihrer Gr¨oße nach sortiert, so l¨aßt sich die Frage leicht in linearer Zeit beantworten: Es gen¨ ugt, jeweils die Nachbarn in der aufsteigenden Folge xπ(1) ≤ xπ(2) ≤ . . ≤ xπ(n) ε-closeness 39 40 Kapitel 1 Grundlagen zu testen. 8 Wir k¨ onnen nun zeigen, daß es keine schnellere L¨osung gibt. 6 Das Problem ε-closeness hat im linearen Modell die Zeitkomplexit¨at Θ(n log n). Beweis. Offenbar ist ε-closeness ein Elementtestproblem f¨ ur die Menge ur alle i = j ist |xi − xj | ≥ ε}.

Solche, f¨ ur die Θ(f ) die genaue Komplexit¨at des Problems ist. Ein prominentes Beispiel ist Sortieren durch Vergleiche. Zu sortieren ist eine Folge von n paarweise verschiedenen Objekten (q1 , . . , qn ) aus einer Menge Q, auf der eine vollst¨andige Ordnung < definiert ist. Wir stellen uns vor, daß die Objekte qi in einem Array gespeichert sind, auf das wir keinen direkten Zugriff haben. Unsere Eingabe besteht aus der Objektanzahl n und einer Funktion K. Ein Aufruf K(i, j) vergleicht die Objekte an den Positionen i und j im Array und liefert folgendes Ergebnis: K(i, j) = 1, falls qi < qj 0, falls qi > qj .

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Algorithmische Geometrie: Grundlagen, Methoden, Anwendungen by Rolf Klein


by Edward
4.4

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