Discrete Mathematics

New PDF release: Algebraic numbers and Diophantine approximation

By Kenneth B Stolarsky

ISBN-10: 0824761022

ISBN-13: 9780824761028

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Example text

1. Grundlegende Eigenschaften 47 Definition 2. In einem Hilbertraum sind zwei Vektoren x, y genau dann orthogonal, wenn (x, y) = 0 ist. Eigenschaften. 1. (lXX, IXX) = IX (IX x, x) = IX(X, IXX) = IX (IX (x, x») = 11X12(X, x)" (offensichtlich ist (lXX, y) = iX (x, y») . 2. 2(y, y), undda (x, y) - +}. 1. 2 (y, y) ~ O. Dieses Polynom zweiten Grades in ;. (). 1'eell) mit 1'eellen Koeffizienten hat eine Diskriminante, die nicht positiv ist, was zu der Ungleichung I(x, y) 12 ~ (x, x) (y, y) fiih1't. Daraus ergibt sich (erneut) die Cauchy-Schwa1'z-Bunjakowskische Ungleichung I(x, y)1 ~ v(x, x) V(y, y).

Es sei Heine quadratische Matrix, H2 (I + H)(I - H) = 12 +H - H - H2 = = o. 7. + H)-l = I - H. Indikator der linearen Unabhiingigkeit Gegeben sei ein System {At> AI' ... , A k , ••• , A,,} von n Vektoren des R" (oder 0"), das auch in Form einer Matrix A geschrieben werden kann. Diesem System wird eine Zahl F(A1' As, ... , A,,) E R (oder 0) zugeordnet. 7. lndikator der linearen Unabhiingigkeit 59 eine Funktion F von n vektoriellen Veranderliehen (bzw. eine Funktion der Matrix A). Definition. Die Funktion F wird als Indikator bezeiehnet, wenn sie die folgenden beiden Eigensehaften besitzt: (11) Fist bezuglieh jedes vektoriellen Argumentes linear, d.

0 o 1. '. 1 : o .... 0 . 1 0 o ........ d. , die (i (P~) 0 0 : 1·. 0 ·····1 +-- (i + 1)-te Zeile ' + l)-te Spalte ist die Nullspalte. Also ist D(A') = O. Stimmen in A zwei aufeinanderfolgende Zeilen iiberein, so ist D(A) = O. Folgerung. Fiir eine Matrix A treffen wir folgende Zuordnung: A ~ D(AT) = F'(A). Auf Grund der Eigenschaften (Pi) und (P~) ist F' (A) offenbar ein Indikator: (1) Linearitat beziiglich der Spalten von A; (2) F' (A) = 0, wenn zwei aufeinanderfolgende Spalten von A gleich sind.

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Algebraic numbers and Diophantine approximation by Kenneth B Stolarsky


by Mark
4.2

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